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Solucao Regra Cramer

23 abril 2021 Deixe um comentário Go to comments

Apesar de existir o método de solução de um sistemas de equações, através da inversa, dado pela equação
\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{B}
nem sempre é vantajoso ou prático, realizar esta operação. Sendo assim, outra opção é pelo método da Regra de Cramer, especialmente se temos interesse em apenas uma icógnita x_k.

A regra de Crammer é definido pela seguinte equação
x_k = \frac{det A_k}{det A}
sendo \mathbf{A}_k a matriz formada pela substituição da k-ésima coluna de \mathbf{A} por \mathbf{B}.
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{rr} 5 & 7 \\ -8 & 4 \end{array}\right] ; \quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{r} 3 \\-9 \end{array}\right]
x_{1}=\frac{\left|\begin{array}{rr} 3 & 7 \\ -9 & 4 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rr} 5 & 7 \\ -8 & 4 \end{array}\right|}=\frac{75}{76}=0,9868
x_{2}=\frac{\left|\begin{array}{rr} 5 & 3 \\ -8 & -9 \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rr} 5 & 7 \\ -8 & 4 \end{array}\right|}=\frac{-21}{76}=-0,2763

Usando o MatLab para implementar a solução, tem-se

%regra crammer
%regra crammer
A = [5 7; -8 4];
B = [3; -9];
temp = A;
temp(:,1) = B(:,1)
x1 = det(temp)/ det(A)
temp = A;
temp(:,2) = B(:,1)
x2 = det(temp)/ det(A)
%Solucao pela inversa de A
x = inv(A)*B

O que torna o procedimento interessante para a disciplina de Controle é a oportunidade de encontrar a solução em matrizes simbólicas.
Exemplo:
Considere o sistema apresentado em função de s
\left[\begin{array}{ccc} s^2+2\,s+1 & -2\,s-5 & 0\\ -2\,s-5 & 2\,s^2+5\,s+6 & 1\\ 0 & 1 & 2\,s+1 \end{array}\right] . \left[\begin{array}{c} I_1(s)\\ I_2(s) \\ I_3(s) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} V(s)\\ 0\\ 0 \end{array}\right]

cuja solução pelo MatLab, na sistemática padrão \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{B} é apresentado como

\left\{\begin{array}{c} I_1(s) = \frac{V(s)\,\left(4\,s^3+12\,s^2+17\,s+5\right)}{4\,s^5+20\,s^4+37\,s^3+7\,s^2-43\,s-20}\\ I_2(s) = \frac{V\,\left(2\,s+1\right)\,\left(2\,s+5\right)}{4\,s^5+20\,s^4+37\,s^3+7\,s^2-43\,s-20}\\ I_3(s) = -\frac{V\,\left(2\,s+5\right)}{4\,s^5+20\,s^4+37\,s^3+7\,s^2-43\,s-20} \end{array}\right\}

Porém, utilizando a Regra de Cramer, pode-se obter apenas uma das incógnitas desejadas, por exemplo I_2(s), que pela sistemática apresentada, obtêm-se os mesmo valor de I_2(s):
I_2(s) = \frac{V(s)\,\left(2\,s+1\right)\,\left(2\,s+5\right)}{4\,s^5+20\,s^4+37\,s^3+7\,s^2-43\,s-20}

syms s V
M = [s^2+2*s+1 -(2*s+5) 0;-(2*s+5) 2*s^2+5*s+6 1; 0 1 2*s+1]
S = [V; 0; 0]
temp = M;
temp(:,2) = S(:,1)
s2 = det(temp)/det(M)
%Solucao pela inversa de M
sol = inv(M)*S

Conclusão

Para entendimento do processo, através de uma solução manual, a regra de Cramer é mais simples de aplicar, o que facilita em relação ao trabalho maior de encontrar a inversa da matriz principal.

Se feito o uso de ferramentas computacionais, especialmente com manipulação simbólica, o procedimento é mais simples pelo método da inversa padrão.

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