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Transformada inversa de Laplace (caso 2)

O livro “Engenharia de Sistemas de Controle” do Norman Nice [1] apresenta uma forma razoavelmente  didática  para solucionar a transformada inversa de Laplace de uma função transferência F(s) contendo frações cujo denominador seja um polinônio com raízes reais repetidas (casos 2).

Caso 2 : Raízes do Denominador de F(s) Reais e Repetidas: Um exemplo de F(s) com raízes reais e repetidas no demoninador é

F(s) = \dfrac{2}{(s+2).(s+2)^2}

Neste caso é sugerido a seguinte solução

F(s) = \dfrac{2}{(s+2).(s+2)^2} = \dfrac{K_1}{(s+1)} + \dfrac{K_2}{(s+2)^2}+ \dfrac{K_3}{(s+2)}

onde K_1 =2 como já visto no caso 1 (veja explicação no livro [1]),

\dfrac{2}{s+2} = (s+2)^2.\dfrac{K_1}{s+1}+K_2+(s+2).K_3

Por fazer s= -2 teremos K_2 =-2.

Para obter K_3, basta derivar a equação anterior em relação a s,

\dfrac{-2}{(s+1)^2} = \dfrac{(s+2).s}{(s+1)^2}.K_1+K_3

onde é possível obter K_3 fazendo s tender a -2 , ou seja, (s \to -2). Portanto  K_3=-2

Agora, de posse dos coeficientes K_1, K_2 e K_3  basta usar a transformada inversa conhecida em tabela.

F(s) = \dfrac{2}{(s+1)} + \dfrac{-2}{(s+2)^2}+ \dfrac{-2}{(s+2)}

Então, {\frak L }(F(s))^{-1} resulta em

f(t) = 2e^{-t}-2te^{-2t}-2e^{-2t}

Ou seja, se a raiz do denominador for de multiplicidade superior a 2, as derivações sucessivas irão isolar cada um dos resíduos na expansão da raíz multipla .

Em geral, então, cada uma F(s) cujo denominador possui raízes reais e repetidas, uma expansão em frações parciais

\begin{aligned}F(s) &=\dfrac{N(s)}{D(s)}\\    &= \dfrac{N(s)}{(s+p_1)^r(s+p_2)+...+(s+P_n)}\\    &= \dfrac{K_1}{(s+p_1)^r}+\dfrac{K_2}{(s+p_1)^{r-1}}+... + \dfrac{K_r}{(s+p_1)}\\    &+\dfrac{K_{r+1}}{(s+p_2)}+...+\dfrac{K_n}{(s+p_n)}\end{aligned}

pode ser efetuada se a ordem N(s) for inferior à ordem de D(s) e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em -p_1.  Para determinar as constante de K_1 a K_r, referentes às raízes de multiplicidade superior à unidade, multiplica-se primeiro a equação anteior por (s+p_1)^r obtendo-se F_1(s)

\begin{aligned}F_1(s) &=(s+p_1)^r.F(s)\\    &= \dfrac{(s+p_1)^r.N(s)}{(s+p_1)^r(s+p_2)+...+(s+P_n)}\\    &= K_1+(s+p_1).K_2+ (s+p_1)^2.K_3+... + (s+p_1)^{r-1}.K_r\\    &+\dfrac{K_{r+1}.(s+p_1)^r}{(s+p_2)}+...+\dfrac{K_n.(s+p_1)^r}{(s+p_n)}\end{aligned}

De imediato, é possível determinar K_1, fazendo s tender a  -p_1. Pode-se determinar K_2 derivando a equação anterior com relação a s e em seguida fazendo s tender a -p_1. As derivações subsequentes permitirão determinar os valores de K_3 a K_r. A expressão geral para  K_3 a K_r  para raízes múltiplas é

K_i = \dfrac{1}{(i-1)!} \dfrac{d^{t-1}F(s)}{ds^{i-1}}\Big| _{s\to -p_1} \qquad i=1,2,\cdots , r; \quad 0!=1

—–

Esta artigo continua no post Transformada Inversa de Laplace (caso 3).

Referências

[1] Nise, Normam. Engenharia de Sistemas de Controle. 3a edição. Veja item: Modelagem no Domínio da Frequência (capítulo 2). pp. 32 a 35.

Utilizando o LaTex no WordPress

[1] Como usar fórmulas no WordPress:  http://wordpress.org/extend/plugins/wp-latex/faq acesso em 25/08/2011 as 12h03 GMT -04h00.

[2] Outros exemplos de Latex no WordPress:http://kogler.wordpress.com/2008/03/21/latex-use-of-math-symbols-formulas-and-equations/ acesso em 25/08/2011 as 14h02 GMT -04h00.

  1. Nenhum comentário ainda.
  1. 25 agosto 2011 às 7:22 pm

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