Transformada inversa de Laplace (caso 2)

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Transformada inversa de Laplace (caso 2)

25 agosto 2011 cbeuter Deixe um comentário Ir para os comentários

O livro “Engenharia de Sistemas de Controle” do Norman Nice [1] apresenta uma forma razoavelmente didática para solucionar a transformada inversa de Laplace de uma função transferência F(s) contendo frações cujo denominador seja um polinônio com raízes reais repetidas (casos 2).

Caso 2 : Raízes do Denominador de F(s) Reais e Repetidas: Um exemplo de F(s) com raízes reais e repetidas no demoninador é

$F(s) = \dfrac{2}{(s+2).(s+2)^2}$

Neste caso é sugerido a seguinte solução

$F(s) = \dfrac{2}{(s+2).(s+2)^2} = \dfrac{K_1}{(s+1)} + \dfrac{K_2}{(s+2)^2}+ \dfrac{K_3}{(s+2)}$

onde $K_1 =2$ como já visto no caso 1 (veja explicação no livro [1]),

$\dfrac{2}{s+2} = (s+2)^2.\dfrac{K_1}{s+1}+K_2+(s+2).K_3$

Por fazer s= -2 teremos $K_2 =-2$ .

Para obter $K_3$ , basta derivar a equação anterior em relação a s,

$\dfrac{-2}{(s+1)^2} = \dfrac{(s+2).s}{(s+1)^2}.K_1+K_3$

onde é possível obter $K_3$ fazendo s tender a -2 , ou seja, $(s \to -2)$ . Portanto $K_3=-2$

Agora, de posse dos coeficientes $K_1, K_2$ e $K_3$ basta usar a transformada inversa conhecida em tabela.

$F(s) = \dfrac{2}{(s+1)} + \dfrac{-2}{(s+2)^2}+ \dfrac{-2}{(s+2)}$

Então, ${\frak L }(F(s))^{-1}$ resulta em

$f(t) = 2e^{-t}-2te^{-2t}-2e^{-2t}$

Ou seja, se a raiz do denominador for de multiplicidade superior a 2, as derivações sucessivas irão isolar cada um dos resíduos na expansão da raíz multipla .

Em geral, então, cada uma F(s) cujo denominador possui raízes reais e repetidas, uma expansão em frações parciais

$\begin{aligned}F(s) &=\dfrac{N(s)}{D(s)}\\ &= \dfrac{N(s)}{(s+p_1)^r(s+p_2)+...+(s+P_n)}\\ &= \dfrac{K_1}{(s+p_1)^r}+\dfrac{K_2}{(s+p_1)^{r-1}}+... + \dfrac{K_r}{(s+p_1)}\\ &+\dfrac{K_{r+1}}{(s+p_2)}+...+\dfrac{K_n}{(s+p_n)}\end{aligned}$

pode ser efetuada se a ordem N(s) for inferior à ordem de D(s) e as raízes repetidas forem de multiplicidade $r$ em $-p_1$ . Para determinar as constante de $K_1$ a $K_r$ , referentes às raízes de multiplicidade superior à unidade, multiplica-se primeiro a equação anteior por $(s+p_1)^r$ obtendo-se $F_1(s)$

$\begin{aligned}F_1(s) &=(s+p_1)^r.F(s)\\ &= \dfrac{(s+p_1)^r.N(s)}{(s+p_1)^r(s+p_2)+...+(s+P_n)}\\ &= K_1+(s+p_1).K_2+ (s+p_1)^2.K_3+... + (s+p_1)^{r-1}.K_r\\ &+\dfrac{K_{r+1}.(s+p_1)^r}{(s+p_2)}+...+\dfrac{K_n.(s+p_1)^r}{(s+p_n)}\end{aligned}$

De imediato, é possível determinar $K_1$ , fazendo s tender a $-p_1$ . Pode-se determinar $K_2$ derivando a equação anterior com relação a s e em seguida fazendo s tender a $-p_1$ . As derivações subsequentes permitirão determinar os valores de $K_3$ a $K_r$ . A expressão geral para $K_3$ a $K_r$ para raízes múltiplas é